Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式f（x）≤5x+1；
（2）若定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）原不等式等价于：①或②或③，
解①得：≤x＜；
解②得：≤x≤；
解③得：x＞；
因此不等式的解集为{x|x≥}；
（2）由于g（x）=的定义域为R
∴f（x）+m=0在R上无解，
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2即f（x）_min=2，
∴-m＜2，即m＞-2．
∴实数m的取值范围（-2，+∞）．
分析：（1）对x分类讨论，即可求得不等式f（x）≤5x+1的解集；
（2）利用g（x）=的定义域为R，可知f（x）+m=0在R上无解（或f（x）+m＞0在R上恒成立）即可求得f（x）_min，从而使问题得以解决．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，对x分类讨论是关键，考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题．