Question

【题目】已知函数.

（1）求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；

（2）求证：当m＞2时，对任意x0∈(0,π] ，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析

【解析】

（1）变换得到，设，求导得到最值得到答案.

（2）只需要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后研究g（x）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可.

（1），，即，设，

则，函数单调递减，故，即，得证.

（2）f（π）＝0，当时，，故f（x）的值域为[0，1）.

又因为g′（x），x∈（0，π]，m＞2.

令∈（0，1）.显然y＝mx﹣2是增函数.

∴时，g′（x）＜0，g（x）递减；，g′（x）＞0，g（x）递增.

此时g（x）min，（m＞2）.

将上式化简并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2.

∵，∴r（m）在（2，+∞）上递减.

所以r（m）＜r（2）＝0，故g（x）min＜0.

显然当x→0时，g（x）→+∞，即当时，g（x）递减，

且函数值取值集合包含f（x）的值域[0，1）；

而g（π）＝（π﹣1）m﹣2lnπ＞2（π﹣1）﹣2lnπ＝2（π﹣1﹣lnπ）＞2（3﹣1﹣lnπ），

∵，∴，

即当x时，g（x）递增，且函数值取值集合包含f（x）的值域[0，1）.

所以当m＞2时，对任意x0∈（0，π]，存在x1∈（0，π]和x2∈（0，π]（x1≠x2）

使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立.