Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)，该函数图象上一个最高点坐标为(

π

6

，3)，与其相邻的对称中心为(-

π

12

，0)．
（1）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）求函数y=Asin（ωx+φ）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用最高点和对称中心的坐标可求得函数的周期和初相A，进而利用周期公式求得ω，把点(

π

6

，3)代入即可求得φ，则三角函数的解析式可得．
（2）利用（1）中函数的解析式和正弦函数的单调性求得函数的单调增区间．

解答：解：（1）依题意得A=3，

T

4

=

π

6

-(-

π

12

)=

π

4

∴T=π=

2π

|ω|

=

2π

ω

∴ω=2
∴y=3sin（2x+φ）
∵y=3sin（2x+φ）图象过点(

π

6

，0)∴3sin(2×

π

6

+φ)=0
∴

π

3

+φ=2kπ+

π

2

即φ=2kπ+

π

6

，k∈Z
∵|φ|＜

π

2

∴φ=

π

6

∴y=3sin(2x+

π

6

)
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

∴单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式的问题，三角函数的单调性．要灵活运用题设条件中的最值，对称轴，周期等信息．