Question

15．已知f（x）=x²-2x+2．
（1）若x∈[t，t+1]，求f（x）的最小值并用解析式g（t）表示；
（2）求g（t）在t∈[-2，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出二次函数f（x）的对称轴为直线x=1，图象开口向上，分区间在对称轴的左侧、区间包含对称轴、区间在对称轴的右侧三种情况，分别利用单调性求出函数的最小值，即可得到g（t）的表达式．
（2）利用（1）的解析式，分类讨论，即可求g（t）在t∈[-2，2]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，所以，其图象的对称轴为直线x=1，且图象开口向上．
①当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t²+1；
②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数f（x）在顶点处取得最小值，即g（t）=f（1）=1；
③当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
所以g（t）=f（t）=t²-2t+2．
综上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1，t＜0}\\{1，0≤t≤1}\\{{t}^{2}-2t+2，t＞1}\end{array}\right.$．
（2）t∈[-2，0），g（t）∈[1，5]；t∈[0，1]，g（t）=1；t∈（1，2]，g（t）∈[1，2]；
∴g（t）在t∈[-2，2]上的值域是[1，5]．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．