Question

【题目】如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）存在点，使得平面平面，且

【解析】

（I）连接AB1交A1B于点M，连接MD．利用中位线定理得出B1C∥MD，故而B1C∥平面A1BD；

（II）作CO⊥AB于点O，以O为坐标原点建立空间坐标系，设AE＝a，分别求出平面B1C1E和平面A1BD的法向量，令两法向量垂直解出a．

（I）连接交于点，连接．

∵三棱柱是正三棱柱，∴四边形是矩形，

∴为的中点．

∵是的中点，∴．

又平面，平面，

∴平面．

（II）作于点，则平面，

以为坐标原点建立空间直角坐标系如图，假设存在点，设．

∵是的中点，∴．

∴．

设是平面的法向量为，∴，

∴，令，得．

∵，则．

设平面的法向量为，∴．

∴，令，得．

∵平面平面，∴，

即，解得．

∴存在点，使得平面平面，且．