Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．

（1）解不等式f（x）＜g（x）；

（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）{x|x＜﹣5或x＞1}（2）

【解析】试题分析：（1）原不等式等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，解二次不等式即可；（2）令H（x）=2f（x）+g（x），即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方，直线G（x）=ax的斜率a满足﹣4≤a＜,即可.

解析：

（1）f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，

∴x＜﹣5或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞1}；

（2）令H（x）=2f（x）+g（x）=，G（x）=ax，

2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方．

故直线G（x）=ax的斜率a满足﹣4≤a＜，即a的范围为[﹣4， ）．