Question

【题目】（本小题满分12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．

【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得．

因为，即，解得，所以抛物线的方程为．

（Ⅱ）因为点在抛物线 上，

所以，由抛物线的对称性，不妨设．

由，可得直线的方程为．

由，得，

解得或，从而．

又，

所以，，

所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，

故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．

因为点在抛物线 上，

所以，由抛物线的对称性，不妨设．

由，可得直线的方程为．

由，得，

解得或，从而．

又，故直线的方程为，

从而．

又直线的方程为，

所以点到直线的距离．

这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．