【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若函数在
处的切线方程为
,求
的值;
(Ⅱ)当时,若不等式
恒成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)当时,若方程
在
上总有两个不等的实根, 求
的最小值.
【答案】(1),
. (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到参数值;(2)不等式恒成立,即
,
等价于,令
,对这个函数求导研究单调性求最值即可;(3)
即
,
,令
,对这个函数求导研究函数的单调性,求得函数的变化趋势,使得函数和x轴有两个不同的交点即可.
解析:(Ⅰ) ,
.
(Ⅱ)当时,
.
(
).所以
即
.
又因为,所以
等价于
.
令,则
.解
,得
;解
,得
;解
,得
.
所以在
单调递增,在
单调递减,所以
,
故实数的取值范围是
(Ⅲ)当时,
即
,
.
令,则
.
方程在
上总有两个不等的实根等价于
函数的图象与
轴在
上有两个不同的交点.
(ⅰ)当时,因为
,所以
,所以函数
在
单调递减,
从而函数在
内的零点最多一个,不符合题意.
(ⅱ)当时,因为
,
解,得
;解
,得
;解
,得
.
所以函数在
单调递减,在
单调递增.
当
时,
在
单调递减,函数
在区间
内的零点最多一个,不符
②当时,因为当
趋于
时,
的值趋于正无穷大,
所以当且仅当时函数
在
有两个零点.
由得
,即
对
恒成立. 等价于
.
再令,则
.
解得
;解
得
;解
得
.
所以函数在
单调递增,在
单调递减.
所以,故
的解为
.
由得
即
对
恒成立.所以
,
所以的解为
.所以
的解为
. 综合①②得
.
综合(ⅰ)(ⅱ)得满足题意要求的实数的最小值为
.
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【题目】已知 ,方程f(x)=0有3个不同的根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)是否存在实数m,使得f(x)在(0,1)上恰有两个极值点x1 , x2且满足x2=2x1 , 若存在,求实数m的值;若不存在,说明理由.
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【题目】根据条件,求下列曲线的方程.
(1)已知两定点,曲线上的点
到
距离之差的绝对值为
,求曲线的方程;
(2)在 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为
的椭圆的标准方程.
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【题目】(本小题满分12分)已知点为抛物线
的焦点,点
在抛物线
上,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长
交抛物线
于点
,证明:以点
为圆心且与直线
相切的圆,必与直线
相切.
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【题目】小明一家订阅的晚报会在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.
(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?
(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?
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【题目】在直角坐标系中,曲线
与
轴交于
,
两点,点
的坐标为
,当
变化时,解答下列问题:
()能否出现
的情况?说明理由.
()证明过
,
,
三点的圆在
轴上截得的弦长为定值.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 且S2=11,S5=50,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )
A.(﹣1,﹣3)
B.(1,﹣3)
C.(1,1)
D.(1,﹣1)
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【题目】已知(
,且
,
)是定义在区间
上的奇函数,
(1)求的值和实数
的值;
(2)判断函数在区间
上的单调性,并说明理由;
(3)若且
成立,求实数
的取值范围.
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