【题目】在边长都是正整数的三角形中,周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种的个数多?说明理由.
【答案】一样多
【解析】
两种三角形的个数相等.
设正整数是周长为2009的三角形边长.则正整数
是周长为2012的三角形边长.这样的三角形存在,因为由
,即每个周长为2009的三角形都有周长为2012的三角形与之对应.
下面证明:每个周长为2012的三角形都有周长为2009的三角形与之对应.
设是周长为2012的三角形边长.
(1)其所有边长大于1.
事实上,三角形的每条边大于另两边的差,若某边长为1,则另外两条边应当是彼此
相等的,并且在这种情形下三角形的周长是奇数.
(2).
由此得.当等式成立时,得
(奇数),它等于2012,这意味着数
中两个较小数的和大于第三个,且这些数是某个三角形的三边长.
故周长是2009的三角形与周长是2012的三角形的个数一样多.
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【题目】(本小题满分12分)已知点为抛物线
的焦点,点
在抛物线
上,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长
交抛物线
于点
,证明:以点
为圆心且与直线
相切的圆,必与直线
相切.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
与
轴交于
,
两点,点
的坐标为
,当
变化时,解答下列问题:
()能否出现
的情况?说明理由.
()证明过
,
,
三点的圆在
轴上截得的弦长为定值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列 的前n项和最大?
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【题目】如图,一隧道内设双行线路,其截面由一长方形和一抛物线构成。为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部(抛物线)在竖直方向上的高度之差至少为0.5m,若行车道总宽度AB为6m,请计算通过隧道的车辆的限制高度(精确度为0.1m)
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