Question

【题目】已知是定义在上的偶函数，对于,都有,当时，，若在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是（ ）

A. 7 B. 8 C. 10 D. 12

Answer 1

【答案】C

【解析】

由已知可得f（x）是周期为4的函数，且f（x）的图象关于（1，0）对称，结合图象可知，若a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有五个根，则f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1．f（x）=﹣1时，x=2；0＜f（x）＜1时，根据二次函数的对称性可得四个根的和为0+8=8，即可得到结论．

∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=﹣x2+1，

设﹣1≤x≤0时，则0≤﹣x≤1，∴f（x）=f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1，

又f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的函数，

∵f（x）是偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=﹣f（x），∴f（2+x）+f（﹣x）=0，

以x﹣1代x，可得f（1+x）+f（1﹣x）=0，

∴f（x）关于（1，0）对称，f（x）在[﹣1，5]上的图象如图：

∵a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有5个根xi（i=1，2，3，4，5），

结合函数f（x）的图象可得f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1，

当f（x）=﹣1时，x=2；0＜f（x）＜1时，根据二次函数的对称性可得四个根的和为0+8=8．

∴x1+x2+x3+x4+x5的值为10．

故选：C．