【题目】解答
(1)若ax>lnx恒成立,求实数a的取值范围;
(2)证明:a>0,x0∈R,使得当x>x0时,ax>lnx恒成立.
【答案】
(1)解:若ax>lnx恒成立,
则a> ,在x>0时恒成立,
设h(x)= ,
则h′(x)= =
,
由h′(x)>0得1﹣lnx>0,即lnx<1,得0<x<e,
由h′(x)<0得1﹣lnx<0,即lnx>1,得x>e,
即当x=e时,函数h(x)取得极大值同时也是最大值h(e)= =
.
即a> .
(2)证明:设f(x)=lnx,g(x)=ax,(x>0),
则f′(x)= ,当g(x)与f(x)相切时,设切点为(m,lnm),
则切线斜率k= ,
则过原点且与f(x)相切的切线方程为y﹣lnm= (x﹣m)=
x﹣1,
即y= x﹣1+lnm,
∵g(x)=ax,
∴ ,得m=e,a=
.
即当a> 时,ax>lnx恒成立.
当a= 时,当x0≥
时,
要使ax>lnx恒成立.得当x>x0时,ax>lnx恒成立.
当0<a< 时,f(x)与g(x)有两个不同的交点,不妨设较大的根为x1,当x0≥x1时,
当x>x0时,ax>lnx恒成立.
∴a>0,x0∈R,使得当x>x0时,ax>lnx恒成立.
【解析】(1)首先求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间,(2)先求出当直线和y=lnx相切时a的取值,然后进行讨论求解即可.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据条件,求下列曲线的方程.
(1)已知两定点,曲线上的点
到
距离之差的绝对值为
,求曲线的方程;
(2)在 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为
的椭圆的标准方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)已知点为抛物线
的焦点,点
在抛物线
上,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长
交抛物线
于点
,证明:以点
为圆心且与直线
相切的圆,必与直线
相切.
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