Question

【题目】直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．

（1）证明：DB=DC；
（2）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结DE，交BC于点G．

由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．

而∠ABE=∠CBE，

故∠CBE=∠BCE，BE=CE．

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE=90°，

由勾股定理可得DB=DC

（2）解：由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG= ．

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG=60°．

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于 ．

【解析】（1）构造辅助线DE，交BC于点G．由弦切角定理，圆上的同弧，等弧的性质，通过导角，可以得知∠CBE=∠BCE，BE=CE，又因为DE为直径，即∠DCE=90°，由勾股定理可证得DB=DC；（2）由（1）可得DG是BC的中垂线，即可求得BG的长度．设DE的中点为O，连结BO，求得∠BOG=60°，通过导角，可得CF⊥BF，即可求得Rt△BCF外接圆的半径．