Question

已知点P是抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(

7

2

，4)，则|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、5
• B、

  9

  2

• C、4
• D、AD

Answer 1

分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|=|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，直线FA与 抛物线交于P₀点，可得P₀，分析出当P重合于P₀时，|PF|+|PA|可取得最小值，进而求得|FA|，则|PA|+|PM|的最小值可得．

解答：解：依题意可知焦点F（

1

2

，0），准线 x=-

1

2

，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH|
|PM|=|PH|-

1

2

=|PA|-

1

2

|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-

1

2

，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①
设直线FA与 抛物线交于P₀点，可计算得P₀ （3，

9

4

），另一交点（-

1

3

，

1

18

）舍去．
当P重合于P₀时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=

19

4

．
则所求为|PM|+|PA|=

19

4

-

1

4

=

9

2

．
故选B．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了考生分析问题的能力，数形结合的思想的运用．