Question

给出下列4个命题：
①0＜a≤

1

5

是f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件；
②函数f（x）=

e-x+3

e-x+2

（e是自然对数的底数）的最小值为2；
③y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④若α∈（π，

5π

4

），则

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

；
其中所有假命题的代号有

①②③

．

Answer 1

分析：①由函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数，分a=0和a＞0两种情况来讨论，可求得0≤a≤

1

5

，由此可知①是假命题；
②由均值不等式可判断出不存在实数x使得等号成立，故函数f（x）不存在最小值；
③举反例：如指数函数y=(

1

16

)x的图象与对数函数y=log

1

16

x的图象的交点有P（

1

2

，

1

4

）、Q（

1

4

，

1

2

）就是不在直线y=x上的两个交点，由此可知原结论不正确；
④由α∈（π，

5π

4

），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，于是

1

1-tanα

＞1+tanα；再根据均值不等式可得1+tanα＞

tanα

．
故④是真命题．

解答：解：①由函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数，可得a=0或

a＞0 4≤- 2(a-1) 2a

即0≤a≤

1

5

，据此可知0＜a≤

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充分不必要条件，因此①是假命题；
②由均值不等式函数f（x）=

e-x+3

e-x+2

=

e-x+2

+

1

e-x+2

≥2，由e^-x+2=1知不存在实数x使得等号成立，故函数f（x）不存在最小值；
③举例：如指数函数y=(

1

16

)x的图象与对数函数y=log

1

16

x的图象的交点有P（

1

2

，

1

4

）、Q（

1

4

，

1

2

）就是不在直线y=x上的两个交点，由此可知原结论不正确；
④∵α∈（π，

5π

4

），∴0＜tanα＜1，∴1-tanα＞0，（1-tanα）（1+tanα）=1-tan²α＜1，

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

．
故假命题是①②③．
故答案为①②③．

点评：此题综合考查了函数的单调性、最值，均值不等式，反函数等有关知识．