Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC取得最大值时三角形的形状．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．
（2）把A=120°带入sinB+sinC利用两角和公式整理，最后利用三角函数的图象与性质求得其取最大值时B的度数，进而判断三角形的形状．

解答 解：由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
方程两边同乘以2R，
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
整理得a²=b²+c²+bc，
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
故cosA=-$\frac{1}{2}$，A=120°，
（2）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=sin（B+60°），
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1，三角形为等腰钝角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中经常利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的互化，属于中档题．