Question

【题目】设函数f（x）= ，证明：
（I）当x＜0时，f（x）＜1；
（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵当x＜0时，f（x）＜1，等价于xf（x）＞x，即xf（x）﹣x＞0， 设g（x）=xf（x）﹣x=ex﹣1﹣x
∴g′（x）=ex﹣1＜0，在（﹣∞，0）上恒成立，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
∴g（x）＞g（0）=1﹣1﹣0=0，
∴xf（x）﹣x＞0恒成立，
∴x＜0时，f（x）＜1，
（Ⅱ）要证明当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a，
即整0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a，
即证 ＜a+1，
即证ex﹣1＜（a+1）x
即证ex﹣1﹣（a+1）x＜0，
令h（x）=ex﹣1﹣（a+1）x，
∴h′（x）=ex﹣（a+1）＜eln（a+1）﹣（a+1）=0，
∴h（x）单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，
同理可证当x＜0时，结论成立
∴对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a
【解析】（Ⅰ）原不等式等价于xf（x）﹣x＞0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，（Ⅱ）当0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a，等价于ex﹣1﹣（a+1）x＜0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，同理可证﹣ln（1+a）＜x＜0，问题得以证明
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．