Question

5．如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．
（1）证明：$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$；
（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明：$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$；
（2）证明△EAD∽△FED，利用比例关系求DF的长．

解答 （1）证明：∵EB=BC
∴∠C=∠BEC
∵∠BED=∠BAD
∴∠C=∠BED=∠BAD…（2分）
∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB
∴∠EAB=∠EBA=2∠C，
又∠C=∠BAD
∴∠EAD=∠C
∴∠BAD=∠EAD…（4分）
∴$\widehat{DE}=\widehat{DB}$．…（5分）
（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，又∠EDA=∠EDA
∴△EAD∽△FED…（8分）
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DE}$
又∵DE=4，AD=8，
∴DF=2．…（10分）

点评 本题考查相似三角形的判定与性质，考查等角对等弧，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．