Question

【题目】已知椭圆在左、右焦点分别为，，动点在椭圆上，的周长为6，且面积的最大值为.

（1）求的方程；

（2）设直线与的另一个交点为，过，分别作直线的垂线，垂足为，，与轴的交点为.若，，的面积成等差数列，求直线斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由题意列关于a，b的方程组，即可得到的方程；

(2) 设直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理表示条件，以，进而得到直线斜率的取值范围.

（1）因为是上的点，且，为的左、右焦点，所以，

又因为，的周长为6，

所以，

当为短轴端点时，的面积最大，

所以，

又因为，解得，，，

所以的方程为.

（2）依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为，

由消去得：，

设，，则有且，.

设，，的面积分别为，，，

因为，，成等差数列，所以，即，

则 ，

即，得，

又，，于是，

所以，由得，解得，

设直线的斜率为，则，所以，

解得或，

所以直线斜率的取值范围是.