Question

【题目】2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个.已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.

（1）求甲、乙两人共答对个问题的概率；

（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；

（3）求乙答对题目数的分布列和期望.

Answer 1

【答案】（1）（2）乙胜出的可能性更大，详见解析（3）分布列见解析；期望为

【解析】

（1）利用互斥事件概率加法公式、次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．

（2）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，计算出甲获胜的概率，再根据对立事件的概率公式求出乙获胜的概率即可判断；

（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，计算出相应的概率，列出分布列，即可求出数学期望；

（1）甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个；两人共答题，甲答对个，乙答对个.

所以甲、乙两保学生共答对个问题的概率：

.

（2）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲获胜的概率

，

设乙获胜为事件，则为对立事件，

所以，

所以乙胜出的可能性更大.

（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，

所以随机变量的分布列为

	0	1	2	3	4

所以期望.