Question

【题目】如图，四棱锥，四边形为平行四边形，，，，，，，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

（2）推导出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可得出平面，最后利用面面垂直的判定定理可证得结论；

（3）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能计算出二面角的余弦值.

（1）四边形为平行四边形，，为中点，

为中点，，

平面，平面，平面；

（2）四边形为平行四边形，，为、中点，

，，，，

，平面，

平面，，

又，，平面，

平面，平面平面；

（3）以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，，

，，，，

，，，，

、、、，

，，，

设平面和平面的法向量分别为，，

由，得，令，可得，

由，得，令，可得，

，

由图形可知，二面角的平面角为钝角，它的余弦值为.