【题目】如图所示,椭圆的短轴为
,
,离心率
,
为第一象限内椭圆上的任意一点,设
轴于
,
为线段
的中点,过
作直线
轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)若的纵坐标为
,求直线
截椭圆
所得的弦长;
(3)若直线交直线
于
,
为直线
上一点,且
为原点),证明:
为线段
的中点.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
相交于
两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(Ⅱ)若,求
的值.
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【题目】如图, 是圆
的直径,点
是圆
上异于
的点,
垂直于圆
所在的平面,且
.
(1)若为线段
的中点,求证
平面
;
(2)求三棱锥体积的最大值;
(3)若,点
在线段
上,求
的最小值.
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【题目】中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米
.
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元
,若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求
的取值范围.
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【题目】已知为椭圆
的左右焦点,点
为其上一点,且有
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过的直线
与椭圆
交于
两点,过
与
平行的直线
与椭圆
交于
两点,求四边形
的面积
的最大值.
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