Question

【题目】如图所示，直三棱柱中， ， ， ，点， 分别是的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)连接， ,由中位线的性质可得： ，利用线面平行的判断定理即可证得平面.

(Ⅱ)结合直三棱柱的性质，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则， ， ，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则，求解方程可得，利用线面角的向量求法可得.

试题解析：

（Ⅰ）连接， ,则且为的中点，

又 为的中点， ，

又平面， 平面，故平面.

（Ⅱ）因为是直三棱柱，所以平面，得.因为， ，

，故.以为原点，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则， ， ，

， ， .

取平面的一个法向量为，

由得：令，得，

同理可得平面的一个法向量为，

二面角的大小为， ，

解得，得，又，

设直线与平面所成角为，则 .