Question

在等差数列{a_n}中，已知a₁=2，S₄=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设P_n=a₁+a₄+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+…+a_2n+8，试比较P_n与Q_n的大小关系，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出．
（2）由数列{a_3n-2}是首项为2，公差为3d=9的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可得P_n=

9

2

n2-

5

2

n．由于数列{a_2n+8}是首项为a₁₀=29，公差为2d=6的等差数列，同理可得Q_n=3n²+26n．作差对n分类讨论，即可比较P_n与Q_n的大小关系．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=2，S₄=26，
∴4×2+

4×3

2

d=26，解得d=3，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）∵数列{a_3n-2}是首项为2，公差为3d=9的等差数列，
∴P_n=a₁+a₄+…+a_3n-2=2n+

n(n-1)

2

×9=

9

2

n2-

5

2

n．
∵数列{a_2n+8}是首项为a₁₀=29，公差为2d=6的等差数列，
∴Q_n=a₁₀+a₁₂+…+a_2n+8=29n+

n(n-1)

2

×6=3n²+26n．
∴P_n-Q_n=

9

2

n2-

5

2

n-（3n²+26n）=

3

2

n(n-19)．
∴当1≤n≤18时，P_n＜Q_n；
当n=19时，P_n=Q_n；
当n＞19时，P_n＞Q_n．

点评：本题考查了等差数列的通项公式的前n项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．