Question

已知数列{a_n}共有9项，其中a₁=a₉=1，且对每个i∈{1，2…，8}，均有

ai+1

ai

∈{2，1，-

1

2

}|，记S=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

a9

a8

，则S的最小值为（　　）

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：令b_i=

ai+1

ai

，1≤i≤8），根据数列比值的关系，结合S的表达式进行推导即可．

解答： 解：令b_i=

ai+1

ai

（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a_n}，
满足

8

i=1

bi=

8

i=1

ai+1

ai

=

a9

a1

=1，且b_i∈{2，1，-

1

2

}，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．
记符合条件的数列{b_n}的个数为N，
由题意知b_i（1≤i≤8）中有2k个-

1

2

，2k个2，8-4k个1，
且k的所有可能取值为0，1，2．
对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．
故选：B．

点评：本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．