Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n且满足条件：

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和为 T_n，且有

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1（n∈N^*），b₁=3，证明：数列{b_n-1}是等比数列；又c_n=

2an+1

bn-1

，求数列{c_n}的前n项和W_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n且满足条件：

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

（n∈N^*）．取n=1时，可得

S2

S1

=

1+a2

1

=

6

2

，解得a₂=2，可得公差d=a₂-a₁．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1（n∈N^*），b₁=3，可得T_n+1-T_n=2b_n-1，b_n+1=2b_n-1，变形为b_n+1-1=2（b_n-1），利用等比数列的通项公式即可得出b_n．
可得c_n=

2an+1

bn-1

=

2n+1

2n

，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）解：∵等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n且满足条件：

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

（n∈N^*）．
∴

S2

S1

=

1+a2

1

=

6

2

=3，解得a₂=2，
∴公差d=a₂-a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．

（2）证明：由

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1（n∈N^*），b₁=3，
∴T_n+1-T_n=2b_n-1，
∴b_n+1=2b_n-1，
变形为b_n+1-1=2（b_n-1），
∴数列{b_n-1}是等比数列，首项为b₁-1=2，公比为2，
∴bn-1=2n，
∴bn=2n+1．
∴c_n=

2an+1

bn-1

=

2n+1

2n

，
∴数列{c_n}的前n项和W_n=

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n+1

2n

，

1

2

Wn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
∴

1

2

Wn=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

，
∴W_n=3+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n+1

2n

=1+

2(1- 1 2n )

1- 1 2

-

2n+1

2n

=5-

2n+5

2n

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．