Question

如图，直四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求直线C₁E与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）过点B作BF⊥CD，垂足为F，可证在△BCE中，BE⊥BC，由BB₁⊥平面ABCD，而BE?平面ABCD，可得BB₁⊥BE，又BB₁∩BC=B，即可证明BE⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 连BC₁，由BE⊥平面BB₁C₁C，可知∠BC₁E是直线C₁E与平面BB₁C₁C所成角，即可求解．

解答： 证明：（Ⅰ）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
则BF=AD=

2

，EF=AB-DE=1，FC=2，
在Rt△BFE中，BE=

3

，Rt△BFC中，BC=

6

．
在△BCE中，BE²+BC²=EC²，故BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABCD，而BE?平面ABCD，
∴BB₁⊥BE，又BB₁∩BC=B，
∴BE⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 连BC₁，∵BE⊥平面BB₁C₁C，
∴∠BC₁E是直线C₁E与平面BB₁C₁C所成角，
sin∠BC1E=

BE

EC1

=

3

3 2

=

6

6

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面所成角的正弦值的求法，属于中档题．