Question

设A、B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，F是右焦点，M是双曲线上异于A、B的动点，过点B作x轴的垂线与直线MA交于点P．若直线OP与BM的斜率之积为4，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（m，n），代入双曲线方程，再由三点共线，斜率相等，可得P的坐标，再由正弦的斜率公式，化简整理，即可得到2a²=b²，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设M（m，n），则

m2

a2

-

n2

b2

=1，即有

n2

m2-a2

=

b2

a2

，①
设P（a，t），又A（-a，0），B（a，0），
由M，P，A三点共线，可得

n

m+a

=

t

2a

，
解得t=

2an

m+a

，
即有OP的斜率为

2n

m+a

，
BM的斜率为

n

m-a

，
若直线OP与BM的斜率之积为4，
则

2n2

m2-a2

=4，由①可得b=

2

a，
即有c=

a2+b2

=

3

a，
则e=

c

a

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，运用点在双曲线上和直线的斜率公式是解题的关键．