Question

已知两条互相平行的直线l₁，l₂之间的距离为常数a，这两条直线与边长为1的正方形的四条边分别交于点M，N，P，Q（按逆时针方向排列且均不与正方形的顶点重合）．
（理科生做）试问是否存在常数a，使得四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ为定值？若存在，求出所有的常数a及相应的θ的值；若不存在，说明理由．
（文科生做）当a=

2

2

时，四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ是否为定值？若是，求出θ的值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（理科）以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，由正方形的对称性不妨设直线l₁分别交边AB，BC于M，N，l₂分别交边CO，OA于P，Q，直线l₁的方程为y=kx+b₁，直线l₂的方程为y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂），由题意得点M（1，k+b₁）N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0），由几何图形可知，对于任意常数a（0＜a＜

2

），都有无数个k使得两平行线l₁，l₂与正方形四条边相交，所以可设直线NQ的斜率K_NQ存在，若使得四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ为定值，由题意可得，KNQ=

1

1-b1+b2 k

=

k

1-b1+b2

，K_PM=k+b₁-b₂．分θ为定值90°，及θ≠90°，根据直线的夹角公式可求
（文科）：以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，，由正方形的对称性不妨设直线l₁分别交边AB，BC于M，N，l₂分别交边CO，OA于P，Q，直线l₁的方程为y=kx+b₁，直线l₂的方程为y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂）
由题意得点M（1，k+b₁），N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0）
当a=

2

2

时，取k=-1，可求直线MP与QN的夹角θ=

π

2

，又取k=-

2

2

时，则由直线的夹角公式可得直线MP与NQ的夹角θ≠

1

2

π，从而可得

解答：（理科）解：以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示
由正方形的对称性不妨设直线l₁分别交边AB，BC于M，N，l₂分别交边CO，OA于P，Q，直线l₁的方程为y=kx+b₁，直线l₂的方程为y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂）
由题意得点M（1，k+b₁）N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0）（1分）
由几何图形可知，对于任意常数a（0＜a＜

2

），都有无数个k使得两平行线l₁，l₂与正方形四条边相交，所以可设直线NQ的斜率K_NQ存在
由题意可得，KNQ=

1

1-b1+b2 k

=

k

1-b1+b2

，K_PM=k+b₁-b₂（2分）
当直线l₁，l₂变化时，若存在常数a使得θ为定值90°，则

k

1-b1+b2

•(k+b1-b2)=-1（1）
∵直线l₁，l₂之间的距离为|

b1-b2

1+k2

|=a，化简可得，b1-b2=

1+k2

a(0＜a＜

2

)
代入（1）可得，a=

1+k2

1-k

，与a为常数矛盾，所以夹角θ不可能是定值90°（4分）
∴四边形MNPQ的两条对角线PM，NQ的夹角θ应满足
tanθ=|

kPM-KNQ|

1+kPM•KMQ

=|

k(b1-b2)-(b1-b2)+(b1-b2)2

1-(b1-b2)+k(b1-b2)+k2

|
=|

(k-1)(b1-b2)+(1+k2) a2

(k-1)(b1-b2)+(1+k2)

|
=|

1+ (1+k2)a2 (k-1)(b1-b2)

1+ 1+k2 (k-1)(b1-b2)

|
=|

1- 1+k2 k-1 a

1+ 1+k2 (k-1)a

|
令

1+k2

k-1

=t，则tanθ=|

1+at

1+ t a

|=|

a(1-a2)

a+t

+a2|（6分）
∴当且仅当a=1，tanθ为定值1
经检验，当常数a=1时，四边形MNPQ的两条对角对角线的夹角θ为定值

π

4

（8分）
（文科））解：以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示
由正方形的对称性不妨设直线l₁分别交边AB，BC于M，N，l₂分别交边CO，OA于P，Q，直线l₁的方程为y=kx+b₁，直线l₂的方程为y=kx+b₂（k＜0，b₁＞b₂）
由题意得点M（1，k+b₁），N(

1-b1

k

，1)，P（0，b₂），Q（-

b2

k

，0）（2分）
当a=

2

2

时，取k=-1，则直线QN的斜率不存在，此时直线MP的斜率为0，直线MP与QN的夹角θ=

π

2

（5分）
又取k=-

2

2

时，则直线MP与NQ的斜率分别为KPM=

3 - 2

2

，KNQ=

2

3 - 2

K_PM•K_QN≠1，此时夹角θ≠

1

2

π
∴a=

2

2

，直线PM与QN的夹角θ不能为定值（8分）

点评：本题主要考查了了两直线的夹角公式及两平行线的距离公式的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力的综合考查