Question

袋中装有10个大小相同的小球，其中黑球3个，白球n，（4≤n≤6）个，其余均为红球；
（1）从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是，求红球的个数．
（2）在（1）的条件下，从袋中任取2个球，若取一个白球记1分，取一个黑球记2分，取一个红球记3分，用ξ表示取出的两个球的得分的和；
①求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．^
②记“关于x的不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系，求出n的值，从而求出红球的个数．
（2）①ξ的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；
②根据关于x的不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R求出ξ的值，从而事件A发生的概率为P（ξ=2）+P（ξ=3），即可求出所求．
解答：解：（1）从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是
即n²-7n-12=0解得n=4
∴红球的个数7-4=3个
（2）①ξ的取值为2，3，4，5，6
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=
P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，P（ξ=6）=
分布列如下表：

ξ	2	3	4	5	6
P

Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=
②∵关于x的不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R
∴解得0＜ξ＜4即ξ=2，3
∴事件A发生的概率为P（ξ=2）+P（ξ=3）=
点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．