Question

5．给出下面的四个命题：
①函数$y=|{sin（{2x+\frac{π}{3}}）}|$的最小正周期是$\frac{π}{2}$
②函数$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$在区间$[{0，\frac{π}{3}}）$上单调递减
③$x=\frac{5π}{4}$是函数$y=sin（{2x+\frac{5π}{6}}）$的图象的一条对称轴．
④函数$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{5}）$，若对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为2π
其中正确的命题个数（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①函数$y=|{sin（{2x+\frac{π}{3}}）}|$的最小正周期是$\frac{1}{2}×\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，即可判断出正误；
②由$0＜x＜\frac{π}{3}$，可得$-\frac{π}{3}$＜$2x-\frac{π}{3}$$＜\frac{π}{3}$，可得y=$sin（2x-\frac{π}{3}）$单调递增，即可得出函数$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$=-$sin（2x-\frac{π}{3}）$在区间$[{0，\frac{π}{3}}）$上单调性，即可判断出正误；
③函数f（$\frac{5π}{4}$）=$sin（2×\frac{5π}{4}+\frac{5π}{6}）$≠±1，即可判断出正误．
④若对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{1}{2}T$=2π，即可判断出正误．

解答 解：①函数$y=|{sin（{2x+\frac{π}{3}}）}|$的最小正周期是$\frac{π}{2}$，正确；
②函数$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$=-$sin（2x-\frac{π}{3}）$，由$0＜x＜\frac{π}{3}$，可得$-\frac{π}{3}$＜$2x-\frac{π}{3}$$＜\frac{π}{3}$，可得y=$sin（2x-\frac{π}{3}）$单调递增，因此函数$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$=-$sin（2x-\frac{π}{3}）$在区间$[{0，\frac{π}{3}}）$上单调递减，正确；
③当$x=\frac{5π}{4}$时，函数f（$\frac{5π}{4}$）=$sin（2×\frac{5π}{4}+\frac{5π}{6}）$=-$sin\frac{π}{3}$≠±1，因此$x=\frac{5π}{4}$不是图象的一条对称轴，不正确．
④函数$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{5}）$，若对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{1}{2}T$=2π，正确．
其中正确的命题个数3．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．