练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知向量a=(2cosx，cos2x)，b=(sinx，
    		3
    )    ，函数f（x）=a•b，（x∈R），
    （Ⅰ）将函数y=2sinx的图象做怎样的变换可以得到函数f（x）的图象？
    （Ⅱ）求函数f（x）区间[0，
    π
    2
    ]上的最大值和最小值；
    （Ⅲ）若f(x0)=
    6
    5
    ，x0∈[0，
    π
    2
    ]    ，求cos2x0的值．
    分析：（1）按照向量数量积的坐标表示，求出f（x）=2sin（2x+
    π
    3
    ），再根据图象变化规律得到变换的方式．
    （2）将2x+
    π
    3
    看作整体，求出范围，再利用正弦函数单调性求最值．
    （3）由已知sin（2x0+
    π
    3
    )=
    3
    5
    =
    3
    5
    ，将2x0转化成（2x0+
    π
    3
    -
    π
    3
    ） 再利用两角和与差的三角函数公式求解．
    解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinxcosx+
    		3
    cos2x=sin2x+
    		3
    cos2x=2sin（2x+
    π
    3
    ）
    将函数y=2sinx的图象向左平移
    π
    3
    个单位，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的
    1
    2
    ，可得到函数f（x）=2sin（2x+
    π
    3
    ）的图象
    （或将函数y=2sinx的图象上各点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
    1
    2
    ，再把所得函数图象向左平移
    π
    6
    个单位，可得到函数f（x）=2sin（2x+
    π
    3
    ）的图象）
    （Ⅱ）f（x）=2sin（2x+
    π
    3
    ），x∈[0，
    π
    2
    ]∴2x+
    π
    3
    ∈[
    π
    3
    ，
    4π
    3
    ]
    所以函数f（x）在区间[0，
    π
    12
    ]上单调递增，在区间[
    π
    12
    ，
    π
    2
    ]上单调递减，
    当2x+
    π
    3
    =
    π
    2
    ，即x=
    π
    12
    时，函数f（x）有最大值2，
    当2x+
    π
    3
    =
    4π
    3
    ，即x=
    π
    2
    时，函数f（x）有最小值-
    		3
    ，
    （Ⅲ） f（x0）=
    6
    5
    ，x0∈[0，
    π
    2
    ]，即sin（2x0+
    π
    3
    )=
    3
    5
    =
    3
    5

    ∵2x0+
    π
    3
    ∈[
    π
    3
    ，
    4π
    3
    ]，又sin（2x0+
    π
    3
    )=
    3
    5
    ＜sin
    π
    3
    =
    		3
    2
    =
    3
    5
    ＜sin
    π
    3

    ∴2x0+
    π
    3
    ∈(
    π
    2
    ，π），∴cos（2x0+
    π
    3
    )=-
    4
    5
    =-
    4
    5
    ，
    ∴cos2x0=cos（2x0+
    π
    3
    -
    π
    3
    ）=cos（2x0+
    π
    3
    )cos
    π
    3
    +sin(2x0+
    π
    3
    )sin
    π
    3
    cos 
    π
    3
    +sin（2x0+
    π
    3
    ）sin
    π
    3
    =-
    4
    5
    ×
    1
    2
    +
    3
    5
    ×
    		3
    2
    =
    3
    		3
    -4
    10
    ．
    点评：本题考查向量的数量积运算，图象变换、正弦函数单调性、最值、两角和与差的三角函数．考查转化的思想、整体思想、计算能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(2cosx，cos2x)，
    b
    =(sinx，1)    ，令f(x)=
    a
    •
    b
    ．
    （Ⅰ） 求 f （
    π
    4
    ）的值；
    （Ⅱ）求x∈[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]    时，f （x）的单调递增区间．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(2cosx+1，cos2x-sinx+1)    ，
    b
    =(cosx， -1)    ，定义f(x)=
    a
    •
    b

    （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
    （2）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值及取得最大值时的x．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•肇庆二模）已知向量
    a
    =(2cosx，-2)    ，
    b
    =(cosx，
    1
    2
    )    ，f(x)=
    a
    •
    b
    ，x∈R，则f（x）是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(2cosx，
    		3
    sinx)    ，
    b
    =(cosx，2cosx)    ，设函数f(x)=
    a
    •
    b
    ．
    （1）求函数f（x）的单调递增区间．
    （2）若x∈[0，
    π
    2
    ]    ，求函数f（x）的值域．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(2cosx，
    		3
    sinx)，
    b
    =(cosx，2cosx)    ，若f（x）=
    a
    •
    b
    ．
    （1）求函数f（x）的周期及对称轴的方程；
    （2）若x∈[
    π
    12
    ，
    π
    3
    ]    ，试求f（x）的值域．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案