Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，

3

），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C，使得

PA

PF

是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上，
∴b²=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切线
∴PA⊥OP
∴

OP

•

AP

=0
即（-1，

3

）•（-1+a，

3

）=0，解得a=4．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1（5分）
（2）∵c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁）
使得

PA

PF

是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（λ是常数）
∵x²+y²=b²
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），（8分）
比较两边，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，（10分）
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e²+e-1）=0，符合条件的解有e=

5 -1

2

，
即这样的椭圆存在，离心率为

5 -1

2

．（16分）