Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，
（1）求通项a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

Sn

n+c

，是否存在非零实数c，使得{b_n}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由等差数列的性质，得a₃+a₄=a₂+a₅=22，
又∵a₃•a₄=117，∴a₃、a₄是方程x²-22x+117=0的解，
结合公差大于零，解得a₃=9，a₄=13，
∴公差d=a₄-a₃=13-9=4，首项a₁=a₃-2d=1．
因此，数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（2）由（1）知：S_n=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n，
所以b_n=

S n

n+c

=

2n2-n

n+c

．
故b₁=

1

c+1

，b₂=

6

c+2

，b₃=

15

c+3

．
令2b₂=b₁+b₃，即

12

c+2

=

1

c+1

+

15

c+3

，化简得2c²+c=0．
因为c≠0，故c=-

1

2

，此时b_n=

2n2-n

n- 1 2

=2n．
当n≥2时，b_n-b_n-1=2n-2（n-1）=2，符合等差数列的定义
∴c=-

1

2

时，b_n=2n．（n∈N₊）
由此可得，当c=-

1

2

时，{b_n}成以2为首项、公差为2的等差数列．