Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=3，且点P_n（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线4x-y+1=0上，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{10}{3}•{4}^{n-1}$$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上可得a_n-2a_n+1+1=0，可化归为等比数列解决．

解答 解：∵点（a_n，a_n+1）都在直线4x-y+1=0上，
∴4a_n-a_n+1+1=0，
∴4（a_n+$\frac{1}{3}$）=a_n+1+$\frac{1}{3}$，所以{a_n+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{10}{3}$为首项，4为公比的等比数列，
所以：a_n+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}•{4}^{n-1}$
∴a_n=$\frac{10}{3}•{4}^{n-1}$$-\frac{1}{3}$．
故答案为：a_n=$\frac{10}{3}•{4}^{n-1}$$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查由递推式求数列的通项，转化与化归的思想，等比数列的定义．属于中档题．