Question

14．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a²+b²+ab=1，c=1，则C=$\frac{2π}{3}$，△ABC的面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 由已知可得a²+b²-c²=-ab，利用余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可得：C=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可求ab$≤\frac{1}{3}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵a²+b²+ab=1，c=1，
∴a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{-ab}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{2π}{3}$，
∵由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：1=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab，即：ab$≤\frac{1}{3}$，（当且仅当a=b时等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，即△ABC的面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．