Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足

FC

•

BA

=5，椭圆的离心率为

1

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当

PA

 • 

PB

取得最小值时，求点P的坐标；
（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若

NF

=λ

FM

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由点的坐标得到向量

FC

，

BA

的坐标，由数量积等于5，结合离心率即隐含条件联立求解a，b c的值，则椭圆的方程可求；
（2）由题意求出线段FC的方程，设出P点坐标，代入数量积公式后化为关于x的表达式，利用配方法求最值，并求出取得最值时的P点坐标；
（3）设出M点坐标，由

NF

=λ

FM

把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示，把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式，由m得范围进一步求解λ的范围．

解答：解：（1）设F（-c，0）．
∵A（a，0），B（0，-b），C（0，b），
∴

FC

=(c，b)，

BA

=(a，b)．
∵

FC

•

BA

=5，∴ac+b²=5①．
又

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²②．
由①②得a=2，c=1，b=

3

．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意可得线段FC的方程为y=

3

x+

3

(-1≤x≤0)．
设P（x，y），则

PA

=(2-x，-y)，

PB

=(-x，-

3

-y)．

PA

•

PB

=x(x-2)+y(y+

3

)=x(x-2)+3(x+1)(x+2)=4(x+

7

8

)2+

47

16

．
当

PA

•

PB

取得最小值时，x=-

7

8

，此时点P的坐标为(-

7

8

，

3

8

)；
（3）设M（0，m），由

NF

=λ

FM

，得N（-1-λ，-λm）．
代入椭圆的方程得：3（-1-λ）²+4（-λm）²-12=0．
即4（λm）²=12-3（1+λ）²．
∵m∈[-

3

，

3

]，∴0≤4（λm）²≤12λ²．
则0≤12-3（1+λ）²≤12λ²．
解得：-3≤λ≤-1（舍）或

3

5

≤λ≤1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用向量法求解解析几何问题，解答的关键是对向量的坐标表示法的熟练运用，属有一定难度题目．