【题目】已知椭圆:的右焦点为,右顶点为,设离心率为,且满足,其中为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点(0,1)的直线与椭圆交于,两点,求面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1)设椭圆的焦半距为c,结合题意分析可得,结合椭圆的几何性质可得a、b的值,代入椭圆的方程即可得答案;
(2)由题意分析可得直线l与x轴不垂直,设其方程为y=kx+1,联立l与椭圆C的方程,可得(4k2+3)x2+8kx﹣8=0,结合根与系数的关系可以用k表示|MN|与O到l的距离,由三角形面积公式计算可得△OMN的面积 .,由基本不等式分析可得答案.
(1)设椭圆的焦半距为,则,,.
所以,其中,又,联立解得,.
所以椭圆的方程是.
(2)由题意直线不能与轴垂直,否则将无法构成三角形.
当直线与轴不垂直时,设其斜率为,那么的方程为.
联立与椭圆的方程,消去,得.
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是,这显然成立.
设点,.
由根与系数的关系得,.
所以 ,又到的距离.
所以的面 .
令,那么 ,当且仅当时取等号.
所以面积的最大值是.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sin C的值.
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【题目】称直角坐标系中纵横坐标均为整数的 点为“格点”,称一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”,格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”,该定值称为格点圆的半径,而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为2005时,格点圆的半径有________条.
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【题目】某网红直播平台为确定下一季度的广告投入计划,收集了近6个月广告投入量(单位:万元)和收益(单位:万元)的数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
广告投入量/万元 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益/万元 | 14.21 | 20.31 | 31.8 | 31.18 | 37.83 | 44.67 |
用两种模型①,②分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图及一些统计量的值:
7 | 30 | 1464.24 | 364 |
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由.
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据,需要剔除:
(i)剔除的异常数据是哪一组?
(ii)剔除异常数据后,求出(1)中所选模型的回归方程;
(iii)广告投入量时,(ii)中所得模型收益的预报值是多少?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
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【题目】如图,三棱柱中,,D为AB上一点,且平面.
(1)求证:;
(2)若四边形是矩形,且平面平面ABC,直线与平面ABC所成角的正切值等于2,,,求三楼柱的体积.
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【题目】如图设计一幅矩形宣传画,要求画面面积为4840,画面上下边要留8cm空白,左右要留5cm空白,怎样确定画面高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
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【题目】建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为,防洪堤高记为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长()要最小.
(1)用表示、;
(2)将表示成的函数,如限制在范围内,最小为多少米?并说明理由.
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【题目】在如图所示的空间几何体中,平面平面,与是边长为2的等边三角形,,BE和平面ABC所成的角为,且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上.
(1)求证:平面ABC;
(2)求二面角的余弦值.
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