Question

【题目】在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为2的等边三角形，，BE和平面ABC所成的角为，且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上．

（1）求证：平面ABC；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）先证平面，作平面，那么，再证，得四边形是平行四边形，根据线面垂直的判定定理可得结论；（2）作，垂足为，连接，可证就是二面角的平面角，再根据直角三角形性质可得二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：由题意知，与是边长为的等边三角形，取中点，

连接，则，

又因为平面平面，所以平面，

作平面，那么，

所以点落在上，

所以，

所以，

是边长为的等边三角形

所以

所以四边形是平行四边形，

所以，面，面

所以平面

（2）解：作，垂足为，连接，

因为⊥平面，所以，又，

所以平面，所以，

所以就是二面角的平面角．

中，，，．

所以．

所以二面角的余弦值为.