【题目】在四面体中,
,则四面体体积最大时,它的外接球半径
_________.
【答案】
【解析】
由题意画出图形,取AB中点E,连接CE,DE,设AB=2x(0<x<1),则CE=DE=,可知当平面ABC⊥平面ABD时,四面体体积最大,写出体积公式,利用导数求得体积最大时的x值,再由△ABD的外心G与△ABC的外心H作两个三角形所在平面的垂线,可得交点O为四面体ABCD的外接球的球心,然后求解三角形得答案.
如图,
取AB中点E,连接CE,DE,
设AB=2x(0<x<1),则CE=DE=,
∴当平面ABC⊥平面ABD时,四面体体积最大,
为V==
=
.
V′=,当x∈(0,
)时,V为增函数,当x∈(
,1)时,V为减函数,
则当x=时,V有最大值.
设△ABD的外心为G,△ABC的外心为H,
分别过G、H作平面ABD、平面ABC的垂线交于O,则O为四面体ABCD的外接球的球心.
在△ABD中,有sin,则cos
,
∴sin=
.
设△ABD的外接圆的半径为r,则,即DG=r=
.
又DE=,∴OG=HE=GE=
.
∴它的外接球半径R=OD=.
故答案为:.
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【题目】1,4,9,16……这些数可以用图1中的点阵表示,古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数,记第个数为
.在图2的杨辉三角中,第
行是
展开式的二项式系数
,
,…,
,记杨辉三角的前
行所有数之和为
.
(1)求和
的通项公式;
(2)当时,比较
与
的大小,并加以证明.
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【题目】已知如下四个命题:①在线性回归模型中,相关指数表示解释变量
对于预报变量
的贡献率,
越接近于
,表示回归效果越好;②在回归直线方程
中,当解释变量
每增加一个单位时,预报变量
平均增加
个单位;③两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于
;④对分类变量
与
,对它们的随机变量
的观测值
来说,
越小,则“
与
有关系”的把握程度越大.其中正确命题的序号是__________.
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【题目】已知函数,其中
.
(1)若函数在
处取得极值,求实数
的值;
(2)在(1)的结论下,若关于的不等式
,当
时恒成立,求
的值;
(3)令,若关于
的方程
在
内至少有两个解,求出实数
的取值范围。
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【题目】深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析,为了考察甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计:
球队胜 | 球队负 | 总计 | |
甲参加 | |||
甲未参加 | |||
总计 |
(1)求的值,据此能否有
的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为:
.则:
1)当他参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;
2)当他参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率;
3)如果你是教练员,应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员?
附表及公式:
.
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【题目】某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况,对学生进行编号,用1,2,…,300表示,并用表示第
名学生的选课情况,其中根据如图所示的程序框图,下列说法错误的是( )
A. 为选择历史的学生人数;
B. 为选择地理的学生人数;
C. 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数;
D. 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和
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【题目】已知椭圆的左焦点为
,右顶点为
,点
的坐标为
的面积为
,过点
的动直线
被椭圆
所截得的线段
长度的最小值为
.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ) 是椭圆
上异于顶点的一点,且直线
是线段
延长线上一点,且
,
的半径为
是
的两条切线,切点分别为
,求
的最大值,并求出取得最大值时直线
的斜率 .
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