Question

（2012•泉州模拟）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(

π

6

)|对一切x∈R恒成立，则
①f(

11π

12

)=0；
②|f(

7π

12

)|＜|f(

π

5

)|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

， kπ+

2π

3

] (k∈Z)；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是

①③

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析：先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到|f(

π

6

)|是三角函数的最大值，得到x=

π

6

是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+

π

2

求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ）
∵f(x)≤|f(

π

6

)|
∴2×

π

6

+θ=kπ+

π

2

∴θ=kπ+

π

6

∴f（x）═

a2+b2

sin（2x+kπ+

π

6

）=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

）
对于①f(

11π

12

)=±

a2+b2

sin（2×

11π

12

+

π

6

）=0，故①对
对于②，|f（

7π

10

）|＞|f（

π

5

）|，故②错
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数
对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，
且|b|＞

a2+b2

，此时平方得b²＞a²+b²这不可能，矛盾，
∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错
故答案为：①③．

点评：本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．