Question

已知

a

=（1，1，0），

b

=（1，1，1），若

b

=

b

₁+

b

₂，且

b

₁∥

a

，

b

₂⊥

a

，试求

b

₁，

b

₂．

Answer 1

分析：本题求空间向量的坐标，可利用所给的位置关系利用向量数乘的概念设出所求向量

b

₁的坐标，再解出向量

b

₂的坐标，然后根据

b

₂⊥

a

，由数量积为0建立关于参数的方程，求参数即可求得所求向量的坐标．

解答：解：∵

b

₁∥

a

，
∴令

b

₁=（λ，λ，0），

b

₂=

b

-

b

₁=（1-λ，1-λ，1），
又∵

b

₂⊥

a

，
∴

a

•

b

₂=（1，1，0）•（1-λ，1-λ，1）=1-λ+1-λ=2-2λ=0，
∴λ=1，即

b

₁=（1，1，0），

b

₂=（0，0，1）．

点评：本题考点是微量的数量积判断向量的共线与垂直，考查用利用共线的条件用待定系数法的技巧设出要求的向量，以及根据所给的垂直关系建立方程求参数的能力，本题用共线的条件表示出向量的坐标，由于引入的未知数较少，给后续的解题带来方便，此技巧值得总结，