Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB₁上一点，且A₁P⊥B₁M．
（1）试求A₁P与平面APC所成角的正弦；
（2）求点A₁到平面APC的距离．

Answer 1

分析：（1）先建立适当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，再利用垂直关系的向量表示即可求得点P的坐标；进一步求出平面APC的法向量，最后利用向量的夹角公式即可求出直线A₁P与平面APC所成角；
（2）先利用空间中两点的距离公式求出：|

A1P

|=

1+3+ 1 4

=

17

2

，设A₁到平面PAC的距离为d，最后结合d与|A₁P|的关系即可求出d值．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则相关各点的坐标为A₁（2，0，0），B₁(1，

3

，0)，P(1，

3

，z)，M(

1

2

，

3

2

，2)，C(0，0，2)，A(2，0，2)
由A₁P⊥B₁M知

A1P

•

B1M

=0
∴(-1，

3

，z)•(-

1

2

，-

3

2

，2)=

1

2

-

3

2

+2z=0，∴z=

1

2

，
即点P的坐标为P(1，

3

，

1

2

)．

（1）设平面APC的法向量为n=（x，y，z），
由

n• CA =0 n• CP =0

即

2x=0 x+ 3 y- 3 2 z=0

∴n=(0，

3

2

z，z)．
取z=-1，则有n=(0，-

3

2

，-1)，方向指向平面APC的左下方，又

PA1

=(1，-

3

，-

1

2

)，cos＜

PA1

，n＞=

PA1 •n

| PA1 |•n

=

8

17 • 7

=

8 119

119

．
设直线A₁P与平面APC所成角为α，则sinα=

8 119

119

．
（2）|

A1P

|=

1+3+ 1 4

=

17

2

，设A₁到平面PAC的距离为d，则d=|

A1P

|sinα=

17

2

•

8

17×7

=

4

7

=

4 7

7

．

点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角、点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、利用空间向量的运算能力，属于中档题．