Question

（2011•渭南三模）在三棱锥A-BCD中，BD=BC=1，BD⊥BC，DE⊥AB，AD=2，AD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BAC与平面DAC夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明DE⊥平面ABC，由于DE⊥AB，只需证明DE⊥BC，利用AD⊥平面BCD，BD⊥BC，可以证明BC⊥平面ABD，从而问题得证；
（Ⅱ）过点D作DF⊥AC，连接EF，根据DE⊥平面ABC，可知∠DFE为平面BAC与平面DAC夹角，分别计算出EF，DF的长，再利用余弦函数即可求得．

解答：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD
∴AD⊥BC
∵BD⊥BC，BD∩AD=D
∴BC⊥平面ABD
∵DE?平面ABD
∴DE⊥BC
∵DE⊥AB，AB∩BC=B
∴DE⊥平面ABC；
（Ⅱ）过点D作DF⊥AC，连接EF，则

∵DE⊥平面ABC，
∴EF⊥AC
∴∠DFE为平面BAC与平面DAC夹角
在直角△ADC中，AD=2，DC=

2

，∴AC=

6

，∵AD×DC=AC×DF，∴DF=

2 3

3

在直角△ADC中，AD=2，BD=1，∴AB=

5

，∵AD×DB=AB×DE，∴DE=

2 5

5

∴EF=

8 15

∴cos∠DFE=

EF

DF

=

10

5

点评：本题以三棱锥为载体，考查线面垂直，解题的关键是正确理解与运用线面垂直的判定与性质，求面面角的关键是正确作出面面角