Question

【题目】选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|a﹣x|（a∈R）
（Ⅰ）当a= 时，求使不等式f（2x﹣ ）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）设x0∈A，证明f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a= 时，原不等式化为：|x﹣ |﹣|x+ |＞1①， 当x 时，①式化为： ﹣x+x+ ＞1恒成立，
即x ；
当- ＜x＜ 时，①式化为： ﹣x﹣x﹣ ＞1恒成立，
解得x＜0，即- ＜x＜0；
当x≥ 时，①式化为：﹣ +x﹣x﹣ ＞1无解，
综上，原不等式的解集A=（﹣∞，0）；
证明：（Ⅱ）因为x0∈A，所以x0＜0，
又f（x）=|a﹣x|，
所以f（x0x）﹣x0f（x）=|a﹣x0x|﹣x0|a﹣x|
=|a﹣x0x|+|﹣x0a+x0x|≥|a﹣x0x﹣x0a+x0x|
=|a﹣ax0|=f（ax0），
所以f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）
【解析】（Ⅰ）把a的值代入不等式化简后，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）由（I）和x0∈A求出x0的范围，化简f（x0x）﹣x0f（x）后利用绝对值三角不等式证明结论成立．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．