Question

在四边形ABCD中，

AB

=

DC

=(1，1)，

1

| BA |

•

BA

+

1

| BC |

•

BC

=

3

| BD |

•

BD

，则四边形ABCD的面积为

3

．

Answer 1

分析：形如

a

| a |

的向量是模等于1的单位向量．本题的向量等式的左边是两个单位向量的和，右边是和平行四边形ABCD对角线BD共线且长度等于

3

的向量，根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为

2

，且对角线BD等于边长的

3

倍，由余弦定理可求得∠DAB，从而可得四边形ABCD的面积．

解答：解：∵向量

a

| a |

的模等于1，因而向量

a

| a |

是单位向量，
∴向量

BA

| BA |

、

B C

| BC |

和

B D

| BD |

都是单位向量，
∵

AB

=

DC

=(1，1)，
∴ABCD为平行四边形，

∵

1

| BA |

•

BA

+

1

| BC |

•

BC

=

3

| BD |

•

BD

，
∴由向量

BA

，

B

C为邻边构成的四边形是菱形，BD在∠ABC的平分线上，
又

AB

=

DC

=(1，1)，
∴|•

AB

|=

2

，对角线BD等于边长的

3

倍，
设向量

AB

、

AD

的夹角为θ，在△ABD中，
所以cosθ=

2+2-6

2× 2 × 2

=-

1

2

，
故∠DAB=

2π

3

，
∴S_ABCD=

1

2

×

2

×

2

×

3

2

×2=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本小题考查向量的几何运算，分析出由向量

BA

，

B

C为邻边构成的四边形是菱形，基础题是关键，也是难点，属于难题．