【题目】给定数列.对
,该数列前
项
的最小值记为
,后
项
的最大值记为
,令
.
(1)设数列为2,1,6,3,写出
,
,
的值;
(2)设是等比数列,公比
,且
,证明:
是等比数列;
(3)设是公差大于0的等差数列,且
,证明:
是等差数列.
【答案】(1),
,
;(2)证明见解析;(3)证明见解析
【解析】
(1)求出及
的值,并结合
,可求出
,
,
的值;
(2)易知数列是递减数列,从而可知
时,
,
,可得
,且
,进而可得
,从而可知
为定值,即可证明结论成立;
(3)是等差数列,先用反证法证明
是单调递减数列,再用反证法证明
为数列
中的最大项,从而可知
,则
,进而可证明结论成立.
(1)由题意,,则
;
,则
;
,则
.
(2)因为是等比数列,公比
,且
,所以数列
是递减数列,
则时,
,
,所以
,且
,
所以时,
,
所以,即
是等比数列.
(3)由是公差大于0的等差数列,且
,可知
.
①先用反证法证明是递减数列,
假设不是递减数列,设
是第一个使得
成立的项,则
,
,所以
,即
,与
相矛盾,
所以是单调递减数列.
②再用反证法证明为数列
中的最大项,
假设不是数列
的最大项,即存在
使得
成立,
若时,满足
,则
,
,故
,与
矛盾,即
;
若时,满足
,则
,
,故
,与
矛盾,
所以为数列
中的最大项.
综上,是单调递减数列,且
为数列
中的最大项,
故,即
,
则时,
,
故,
所以是等差数列.
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【题目】已知直线与函数
(
)的图象相交,将其中三个相邻交点从左到右依次记为A,B,C,且满足
有下列结论:
①n的值可能为2
②当,且
时,
的图象可能关于直线
对称
③当时,有且仅有一个实数ω,使得
在
上单调递增;
④不等式恒成立
其中所有正确结论的编号为( )
A.③B.①②C.②④D.③④
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【题目】已知中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,
,
,________.是否存在以
,
,
为边的三角形?如果存在,求出
的面积;若不存在,说明理由.
从①;②
;③
这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
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【题目】如图所示,直角梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟四斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿4斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿了多少斗( )
A.B.
C.
D.
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【题目】《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.
某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).
(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数;
(Ⅱ)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.
(附:若随机变量,则
,
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.卷八中第33问:“今有三角果一垛,底阔每面七个.问该若干?”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图,求得该垛果子的总数S为( )
A.28B.56C.84D.120
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