【题目】《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ）
A.
B.
C.
D.
优学名师名题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；
（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
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【题目】给定数列
.对
，该数列前
项
的最小值记为
，后
项
的最大值记为
，令
.
（1）设数列
为2，1，6，3，写出
，
，
的值；
（2）设
是等比数列，公比
，且
，证明：
是等比数列；
（3）设是公差大于0的等差数列，且
，证明：
是等差数列.
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【题目】设函数
，其中
，
为自然对数的底数.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，证明：函数
无零点；
（3）确定
的所有可能取值，使得
在区间
内恒成立.
（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“在区间内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.
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【题目】如图，在三棱锥D-ABC中
为锐角三角形，平面ACD⊥平面
.
（1）求证：CD⊥平面ABC
（2）若直线BD与平面ACD所成角的正弦值为
，求二面角D-AB-C的余弦值.
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【题目】如图，四棱锥
中，四边形
为正方形，
，
分别为
，
中点.
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（1）证明：
平面
；
（2）已知
，
，
，求三棱锥
的体积.
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【题目】如图，在三棱锥
中，已知
都是边长为
的等边三角形，
为
中点，且
平面
，
为线段
上一动点，记
．
（1）当
时，求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）当
与平面
所成角的正弦值为
时，求
的值．
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【题目】已知双曲线C：
的焦点与抛物线
的焦点之间的距离为2,且C的离心率为
，则下列说法正确的有( ).
A.C的渐近线方程为
B.C的标准方程为
C.C的顶点到渐近线的距离为
D.曲线
经过C的一个焦点
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