【题目】田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛,田忌获胜的概率如下表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
【答案】(1)0.72;(2)金.
【解析】
(1)田忌用下等马对战公子们的上等马获胜的概率为,用上等马对战公子们的中等马获胜的概率为
,用中等马对战公子们的下等马获胜的概率为
.由题意求解即可.
(2)根据比赛约定,只能同等级马对战,在某月的比赛中田忌获胜,则三场比赛中,田忌输赢的分布为:胜胜胜,负胜胜,胜负胜,胜胜负,求出该月的比赛中田忌获胜的概率以及该月赛马获利得期望,再求解一年的获利期望,即可.
(1)记事件:按孙膑的策略比赛一次,田忌获胜,
对于事件,三场比赛中,由于有一场比赛田忌必输,另两场都胜,
故.
(2)设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量(金),则
的取值为
和
,
若在某月的比赛中田忌获胜,则三场比赛中,田忌输赢的分布为:胜胜胜,负胜胜,胜负胜,胜胜负.
设在该月的比赛中田忌获胜的概率为,则
,
,
因此田忌一年赛马获利的数学期望为(金).
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【题目】设椭圆的一个顶点与抛物线
的焦点重合,
,
分别是椭圆
的左、右焦点,离心率
,过椭圆
右焦点
的直线
与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使得
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)设点是一个动点,若直线
的斜率存在,且
为
中点,
,求实数
的取值范围.
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【题目】沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下
的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为
B.沙漏的体积是
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒()
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【题目】已知抛物线的焦点为
,直线
,过点
且与抛物线
分别交于点
和点
,弦
和
的中点分别为
,若
,则下列结论正确的是
(______________)
①的最小值为32
②以四点为顶点的四边形的面积的最小值为128
③直线过定点
④焦点可以同时为弦
和
的三等分点
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【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设
点的极坐标为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若过点且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
两点,求
的值.
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【题目】已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:+
+
≥3.
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【题目】已知由n(n∈N*)个正整数构成的集合A={a1,a2,…,an}(a1<a2<…<an,n≥3),记SA=a1+a2+…+an,对于任意不大于SA的正整数m,均存在集合A的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于m.
(1)求a1,a2的值;
(2)求证:“a1,a2,…,an成等差数列”的充要条件是“”;
(3)若SA=2020,求n的最小值,并指出n取最小值时an的最大值.
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【题目】设离心率为 的椭圆
的左、右焦点为
, 点P是E上一点,
,
内切圆的半径为
.
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线上,A、B在椭圆E上,若矩形ABCD的周长为
, 求直线AB的方程.
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