【题目】已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3.
【答案】(1)m=3 (2)证明见解析
【解析】
(1)分段讨论当x<-1时,当-1≤x<2时,当x≥2时,函数f(x)的值域,然后求函数在定义域上的值域即可;
(2)由已知条件a+b+c=3,再结合重要不等式证明即可.
解:(1)当x<-1时,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x∈(3,+∞);
当-1≤x<2时,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);
当x≥2时,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞).
即,
综上,f(x)的最小值m=3.
(2)证明:因为a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,
所以+++(a+b+c)
=++
≥2
=2(a+b+c),
当且仅当a=b=c=1时,取“=”,
所以++≥a+b+c,
又a+b+c=3,
即++≥3.
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【题目】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著下图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述正确的是( ).
A.这五年,2013年出口额最少
B.这五年,出口总额比进口总额多
C.这五年,出口增速前四年逐年下降
D.这五年,2017年进口增速最快
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),曲线与轴交于两点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线的普通方程及曲线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线在第一象限交于点,且线段的中点为,点在曲线上,求的最小值.
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【题目】田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛,田忌获胜的概率如下表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
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【题目】已知在四棱锥中,底面是边长为的正方形,是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点.
(Ⅰ)求证:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,若存在,求线段的长度;若不存在,说明理由.
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【题目】某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策,拟实行5G网络流量阶梯定价.每人月用流量中不超过(一种流量计算单位)的部分按2元收费;超出的部分按4元收费.从用户群中随机调查了10000位用户,获得了他们某月的流量使用数据.整理得到如下的频率分布直方图:
(1)若为整数,依据本次调查,为使80以上用户在该月的流量价格为2元,至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当时,试估计用户该月的人均流量费.
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【题目】已知抛物线,直线与抛物线交于,两点,分别过,作抛物线的切线,两切线交于点.
(1)若直线变动时,点始终在以为直径的圆上,求动点的轨迹方程;
(2)设圆,若直线与圆相切于点(点在线段上).是否存在点使得?若存在,求出点坐标,若不存在,说明理由.
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