【题目】已知在四棱锥中,底面
是边长为
的正方形,
是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点.
(Ⅰ)求证:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角为
,若存在,求线段
的长度;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)(Ⅲ)不存在,见解析
【解析】
(Ⅰ)正三角形中
,由
平面
得到
,所以得到
面
;(Ⅱ)以
点为原点建立空间直角坐标系,根据平面
的法向量,和平面
的法向量,从而得到平面
与平面
所成锐二面角的余弦值,再得到所求的角;(Ⅲ)线段
上存在满足题意的点
,直线
与平面
法向量的夹角为
,设
,
,利用向量的夹角公式,得到关于
的方程,证明方程无解,从而得到不存在满足要求的点
.
(Ⅰ)证明:因为△是正三角形,
是
的中点,
所以 .
又因为平面
,
平面
,
所以.
,
平面
,
所以面
.
(Ⅱ)如图,以点为原点分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
设平面的法向量为
所以,即
令,则
,
又平面的法向量
,
设平面与平面
所成锐二面角为
,
所以.
所以平面与平面
所成锐二面角为
.
(Ⅲ)假设线段上存在点
,
使得直线与平面
所成角为
,
即直线与平面
法向量
所成的角为
,
设,
,
,
所以
所以,
整理得,
,方程无解,
所以,不存在这样的点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据《环境空气质量指数技术规定(试行)》规定:空气质量指数在区间
、
、
、
、
、
时,其对应的空气质量状况分别为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染.如图为某市2019年10月1日至10月7日的空气质量指数
直方图,在这7天内,下列结论正确的是( )
A.前4天的方差小于后3天
的方差
B.这7天内空气质量状况为严重污染的天数为3
C.这7天的平均空气质量状况为良
D.空气质量状况为优或良的概率为
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,过
作直线
与椭圆
交于
,
两点,
的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)问:的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系中,半圆C的参数方程为
(
为参数,
),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线的极坐标方程是
,射线OM:
与半圆C的交点为O、P,与直线
的交点为Q,求线段PQ的长.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:+
+
≥3.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
积极参加 班级工作 | 不太主动参加 班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性一般 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系?并说明理由.(参考下表)
P(K2 ≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在“挑战不可能”的电视节目上,甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动,规则是由密码专家给出题目,然后由个人依次出场解密,每人限定时间是
分钟内,否则派下一个人.
个人中只要有一人解密正确,则认为该团队挑战成功,否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况,抽取了甲
次的测试记录,绘制了如下的频率分布直方图.
(1)若甲解密成功所需时间的中位数为,求
、
的值,并求出甲在
分钟内解密成功的频率;
(2)在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力,甲,乙,丙解密成功的概率分别为,其中
表示第
个出场选手解密成功的概率,并且
定义为甲抽样中解密成功的频率代替,各人是否解密成功相互独立.
①求该团队挑战成功的概率;
②该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密,求团队挑战成功所需派出的人员数目
的分布列与数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
如果:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
(1)从产品中随机抽取件,合格品的个数为
,求
的分布列与期望:
(2)为了提高产品合格率,现提出,
两种不同的改进方案进行试验,若按
方案进行试验后,随机抽取
件产品,不合格个数的期望是
:若按
方案试验后,抽取
件产品,不合格个数的期望是
,你会选择哪个改进方案?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左焦点为
,点
为椭圆的左、右顶点,点
是椭圆上一点,且直线
的倾斜角为
,
,已知椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上异于
的两点,若直线
的斜率等于直线
斜率的
倍,求四边形
面积的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com